ChatGPTに京都大学2014年度の数学の問題を解かせてみた

Wed, 19 Apr 2023 14:18:15 +0900

これとてもやってみたかったんです。

自分は2017年から3年間研究室で数理最適化に関する研究をしていました。

数理最適化の考え方は機械学習の考え方と違って泥臭くて、分析したい対象の振る舞いを全て数式化してボトムアップで解を見つける方法なんです。

それとは違って機械学習は、論理はよくわからんが予測して答えがあってればOKという方法です。

これだけ聞くとなんとチャラい考えといいますか…答えだけ書いて道筋示さない学生みたいですよね。

だから当時は機械学習なんてそんなもん答えがあってたとしても何の意味が…みたいに穿った見方でみていました。

ですが、2023年現在の大規模言語モデルの人間の問いに対する回答は、ちゃんと人間が求める背景を汲み取って予測した単語を吐き出してくれるので、予測の羅列とはもう思えないですよね…

そんなChatGPTが今日解く問題はこちら!

https://bouseijuku.sakura.ne.jp/2014kyoto-sugaku.pdf

整数問題です。なぜなら文章として入力しやすいからです。

解答はこちら。

では質問してみましょう。

Let’s ask ChatGPT

### USER
自然数 a，b はどちらも3で割り切れないが， a^3 + b^3 は81で割り切れる．このような a，b の
組 (a , b) のうち， a^2 + b^2 の値を最小にするものと，そのときの a^2 + b^2 の値を求めよ．

### ASSISTANT
a、bは3で割り切れないので、aとbは3の倍数ではありません。このため、aとbは形式3k + 1または3k + 2のどちらかになります。

a^3 + b^3 が81で割り切れるため、a^3 + b^3 = 81n（nは整数）でなければなりません。

仮にaとbがどちらも形式3k + 1であると仮定しましょう。この場合、a = 3x + 1、b = 3y + 1と表すことができます。ここで、xとyは整数です。

a^3 + b^3 = (3x + 1)^3 + (3y + 1)^3
           = 27x^3 + 27x^2 + 9x + 1 + 27y^3 + 27y^2 + 9y + 1
           = 27(x^3 + x^2 + y^3 + y^2) + 9(x + y) + 2

この式が81の倍数であるため、9(x + y) + 2は9の倍数でなければなりません。しかし、これは矛盾です。なぜなら、9(x + y) + 2は必ず2を余りとして残すからです。したがって、aとbは形式3k + 1のどちらもできません。

同様に、aとbがどちらも形式3k + 2である場合も矛盾が生じます。

従って、aとbは形式3k + 1と3k + 2のどちらか一方が成り立つ必要があります。

例えば、a = 3x + 1、b = 3y + 2（または、a = 3x + 2、b = 3y + 1）とします。すると、a^3 + b^3は81で割り切れます。

a^2 + b^2 を最小にするようなaとbを求めたいので、a = 1, b = 2（または a = 2, b = 1）とします。これは、aとbが3で割り切れない最小の整数です。この場合、

a^2 + b^2 = 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5

したがって、aとbの組(a, b)が(1, 2)または(2, 1)の場合、a^2 + b^2の値は最小で5になります。

### USER
a^3 + b^3 が81で割り切れなくないですか?

### ASSISTANT
すみません、その通りです。私の説明が間違っていました。
...

だめでした。ChatGPTを論破するの気持ちいいですよね。

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